在面对民警嫖娼不给钱的情况时，市民可以通过以下合法途径进行举报和维权：
一、了解相关法律法规
首先，市民应当了解相关的法律法规，如《中华人民共和国治安管理处罚法》、《中华人民共和国刑法》等，明确民警嫖娼不给钱的行为属于违法行为，市民有权依法举报。
二、收集证据
在举报之前，市民需要收集尽可能多的证据，包括但不限于：
- 视频、音频证据：如果目击了民警嫖娼的行为，可以尝试录制视频或音频。
- 目击者证言：如果有其他市民目击了事件，可以收集他们的证言。
- 其他相关证据：如民警嫖娼的地点、时间、涉及人员等详细信息。
三、选择举报途径
市民可以通过以下途径进行举报：
1. 直接向公安机关举报
- 110报警电话：可以直接拨打110报警电话，说明情况，请求警方调查。
- 当地公安机关：可以前往当地公安机关，向接待人员说明情况，提交相关证据。
2. 通过上级公安机关举报
- 上级公安机关：如果当地公安机关未能及时处理，可以向其上级公安机关进行举报。
3. 通过网络举报
- 网络举报平台：现在很多地方公安机关都开通了网络举报平台，市民可以通过这些平台进行匿名举报。
- 社交媒体：在一些情况下，市民也可以通过社交媒体平台进行举报，但需注意保护个人隐私。
四、保护自身安全
在举报过程中，市民应注意以下几点：
- 保护个人隐私：在举报时，避免透露自己的个人信息，以免遭受报复。
- 注意安全：在收集证据和举报过程中，注意自身安全，避免与嫌疑人发生冲突。
五、维权途径
如果市民的举报得到了回应，但问题仍未得到解决，可以采取以下维权措施：
- 寻求法律援助：可以联系律师，寻求法律援助。
- 向人民法院提起诉讼：如果情况严重，可以依法向人民法院提起诉讼。
六、案例分析
以下是一个案例，供市民参考：
案例：某市民在街头目击了一名民警嫖娼，并录下了视频证据。该市民通过110报警电话进行了举报，并提供了视频证据。当地公安机关在接到举报后，立即进行了调查，并将涉嫌嫖娼的民警进行了处理。
通过以上案例，我们可以看到，市民在遇到民警嫖娼不给钱的情况时，可以通过合法途径进行举报和维权。同时，公安机关也会依法处理此类违法行为，维护社会公平正义。