在讨论公司无补偿金开除员工是否合法的问题时，我们需要考虑多个因素，包括劳动合同法的相关规定、具体的情况描述以及相关法律法规。以下是对这一问题的详细分析。
合法性分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定，用人单位解除劳动合同，应当向劳动者支付经济补偿。这意味着，一般情况下，公司无补偿金开除员工是不合法的。
合法解除劳动合同的情形
然而，也有一些特殊情况，即使公司不支付补偿金，也可能被认为是合法的。以下是一些具体情形：
劳动者违反规章制度被辞退：如果员工严重违反用人单位的规章制度，如严重失职、营私舞弊、给公司造成重大损害等，用人单位可以单方面解除劳动合同，无需支付经济补偿。
劳动者严重失职，营私舞弊：员工在工作中严重失职，营私舞弊，给公司造成重大损害，用人单位可以立即解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
劳动者被依法追究刑事责任：如果员工因犯罪行为被追究刑事责任，用人单位可以解除劳动合同，无需支付经济补偿。
劳动者患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作：在这种情况下，用人单位可以解除劳动合同，但需支付经济补偿。
注意事项
在处理无补偿金开除员工的情况时，以下事项需要注意：
明确解除劳动合同的原因：用人单位在解除劳动合同时，必须明确指出员工违反规定的原因，并提供相关证据。
遵守法定程序：用人单位在解除劳动合同时，必须按照法定程序进行，包括提前通知、听取员工意见等。
支付经济补偿：在大多数情况下，即使符合上述特殊情况，用人单位仍需支付员工经济补偿。
法律咨询：在处理这类问题时，建议用人单位咨询专业法律人士，以确保符合法律法规。
结论
综上所述，公司无补偿金开除员工在大多数情况下是不合法的。用人单位在处理员工离职问题时，应严格按照法律法规进行，确保双方的权益得到保障。同时，员工也应了解自己的权益，依法维护自己的合法权益。